Algèbre Linéaire 7e édition

Avant-Propos

1. Espaces Vectoriels
1.1 Introduction
1.2 Espaces vectoriels
1.3 Sous-espaces vectoriels
1.4 Bases (en dimension finie)
1.5 Existence de bases (en dimension finie)
1.6 Les théorèmes fondamentaux sur la dimension
1.7 Bases en dimension infinie
1.8 Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires
1.9 Somme et somme directe de plusieurs sous-espaces
Exercices

2. La méthode du pivot (ou méthode d’élimination de Gauss)
2.1 Etude d’un système d'équations linéaires par la méthode du pivot
2.2 Cas des systèmes linéaires homogènes
2.3 Application aux familles libres et aux familles génératrices
2.4 Utilisation pratique de la méthode du pivot
Exercices

3. Applications linéaires et matrices
3.1 Applications linéaires
3.2 Image et noyau. Image d’une famille de vecteurs
3.3 Matrices et applications linéaires
3.4 Produit de deux matrices
3.5 Matrice d’un vecteur. Calcul de l’image d’un vecteur
3.6 Produits de matrices. Matrice de l’inverse d’une application
3.7 Changement de base
3.8 Rang d’une application linéaire et rang d’une matrice
3.9 Espace dual
3.10 Annulateur d’un sous-espace
Exercices

4. Déterminants
4.1 Définition des déterminants par récurrence
4.2 Les déterminants vus comme formes multilinéaires alternées
4.3 Permutations, transpositions, signature
4.4 Une formule explicite pour le déterminant
4.5 Déterminant de la transposée d’une matrice
4.6 Calcul des déterminants
4.7 Déterminant du produit de matrices. Déterminant d’un endomorphisme
4.8 Calcul de l’inverse d’une matrice
4.9 Application des déterminants à la théorie du rang
4.10 Interprétation géométrique du déterminant : volume dans Rn
4.11 Orientation
Exercices

5. Systèmes d’équations linéaires
5.1 Définitions et interprétations
5.2 Systèmes de Cramer
5.3 Cas général. Le théorème de Rouché-Fontené
5.4 Cas des systèmes homogènes
Exercices

6. Réduction des endomorphismes
6.1 Position du problème
6.2 Vecteurs propres
6.3 Recherche des valeurs propres. Polynôme caractéristique
6.4 Digression sur les polynômes
6.5 Recherche des vecteurs propres
6.6 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables
6.7 Trois applications
6.8 Trigonalisation
6.9 Polynômes annulateurs. Théorème de Cayley-Hamilton
6.10 Le Lemme des noyaux
6.11 Recherche des polynômes annulateurs. Polynôme minimal
6.12 Réduction en blocs triangulaires (ou réduction selon les espaces caractéristiques)
6.13 Décomposition de Dunford
6.14 La réduction de Jordan
Exercices

7. Espaces euclidiens
7.1 Produit scalaire canonique dans R2 et R3
7.2 Produit scalaire sur un espace vectoriel. Espaces euclidiens
7.3 Méthode de Gauss pour la réduction en carrés
7.4 Le théorème fondamental des espaces euclidiens. Procédé d’orthonormalisation de Schmidt
7.5 Norme d’un vecteur. Angle non orienté
7.6 Représentation matricielle du produit scalaire
7.7 Sous-espaces orthogonaux
7.8 Endomorphisme adjoint
7.9 Groupe orthogonal
7.10 étude de O(2,R) et O(3, R)
7.11 Rotations et angle dans un espace euclidien de dimension 2 ou 3
7.12 Produit vectoriel
7.13 Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints d’un espace euclidien
Exercices

8. Formes bilinéaires et formes quadratiques
8.1 Rang et noyau d’une forme bilinéaire
8.2 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques en dimension finie
8.3 Définition de forme quadratique en dimension infinie
8.4 Rang, Noyau et vecteurs isotropes d’une forme quadratique
8.5 Bases orthogonales. Réduction des formes quadratiques
8.6 Recherche d’une base orthogonale par la méthode de Gauss
8.7 Classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel complexe
8.8 Classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel. Théorème de Sylvester
8.9 Sous-espaces orthogonaux
8.10 Formes quadratiques dans un espace euclidien
8.11 Endomorphisme adjoint
8.12 Groupe orthogonal associé à une forme quadratique
Exercices

9. Espaces hermitiens
9.1 Formes hermitiennes. Produit scalaire hermitien
9.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme
9.3 Matrices hermitiennes
9.4 Bases orthonormées. Orthogonalité
9.5 Endomorphisme adjoint
9.6 Groupe unitaire
9.7 Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints d’un espace hermitien. Endomorphismes normaux
Exercices

10. Formes hermitiennes
10.1 Rang et noyau d’une forme hermitienne
10.2 Orthogonalité. Vecteurs isotropes
10.3 Bases orthogonales et classification des formes hermitiennes
10.4 Groupe unitaire associé à une forme hermitienne
10.5 Formes hermitiennes dans un espace hermitien
Exercices

A.1 Vocabulaire de base
A.2 Polynômes
A.3 Quotients
A.4 Compléments sur la méthode du pivot. Indications sur les méthodes directes
A.5 Inverses généralisées
A.6 Exponentielle d’une matrice
A.7 Espaces affines
A.8 Sur les isométries dans le plan et dans l’espace
A.9 Groupes de symétries
A.10 Sur la décomposition des transformations orthogonales
A.11 Espaces symplectiques
A.12 Coniques et quadriques
A.13 Portrait de phase d’un système autonome
A.14 Formes bilinéaires et sesquilinéaires. Table de correspondance
Quelques références bibliographiques
Index