Cours et Exercices d'Analyse : Les Équations Différentielles
Auteur :
Collection :
Cet ouvrage de cours et d’exercices d’analyse concernant les équations différentielles rassemble le travail effectué en classe de mathématiques spéciales MP* pendant de nombreuses années à partir de sujets proposés tant à l’écrit qu’aux oraux des concours d’entrée dans les grandes écoles scientifiques.
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Rubrique :
Pierre Meunier Series - Maths
ISBN :
9782364931404
Référence :
1140
Année de parution :
2014
Cet ouvrage de cours et d’exercices d’analyse concernant les équations différentielles rassemble le travail effectué en classe de mathématiques spéciales MP* pendant de nombreuses années à partir de sujets proposés tant à l’écrit qu’aux oraux des concours d’entrée dans les grandes écoles scientifiques.
Son objectif, conforme à celui du programme, consiste à étudier et à illustrer, par de nombreux exercices, les systèmes différentiels linéaires ainsi que les systèmes dynamiques continus, en liaison aussi souvent que possible avec les systèmes mécaniques, électriques, ou du vivant, gouvernés par une loi d’évolution et des conditions initiales imposées.
C’est la raison pour laquelle ce recueil a été élaboré à partir des quatre chapitres suivants :
Chapitre 1 : Cours et généralités sur les équations différentielles.
Chapitre 2 : Exercices concernant les systèmes différentiels linéaires et les équations différentielles scalaires.
Chapitre 3 : Exercices concernant le cas non linéaire et surtout les systèmes autonomes.
Chapitre 4 : 2quations différentielles et conditions aux limites : exemples et problème de Stum-Liouville.
Les chapitres 2,3 et 4, sont consacrés aux exercices fournissant plus de 150 sujets entièrement résolus.
Son objectif, conforme à celui du programme, consiste à étudier et à illustrer, par de nombreux exercices, les systèmes différentiels linéaires ainsi que les systèmes dynamiques continus, en liaison aussi souvent que possible avec les systèmes mécaniques, électriques, ou du vivant, gouvernés par une loi d’évolution et des conditions initiales imposées.
C’est la raison pour laquelle ce recueil a été élaboré à partir des quatre chapitres suivants :
Chapitre 1 : Cours et généralités sur les équations différentielles.
Chapitre 2 : Exercices concernant les systèmes différentiels linéaires et les équations différentielles scalaires.
Chapitre 3 : Exercices concernant le cas non linéaire et surtout les systèmes autonomes.
Chapitre 4 : 2quations différentielles et conditions aux limites : exemples et problème de Stum-Liouville.
Les chapitres 2,3 et 4, sont consacrés aux exercices fournissant plus de 150 sujets entièrement résolus.
| Référence : | 1140 |
| Nombre de pages : | 284 |
| Format : | 14,5x20,5 |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Meunier Pierre | Auteur |
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Introduction et rappels de cours.
Chapitre 1 - EQUATIONS DIFFERENTIELLES : COURS.
1.1 Définitions et premières conséquences
1.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz local.
Solutions maximales d'une équation différentielle
1.2.1 Fonction localement lipschitzienne
1.2.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz local
1.2.3 Solution maximale d'une ED où f vérifie les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz
1.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz global
1.4 Comportement aux extrémités de leur domaine de définition des solutions maximales
1.5 Des cas particuliers où les solutions maximales sont globales
1.6 Équations différentielles linéaires
1.6.1 Définitions
1.6.2 Etude de l'équation linéaire homogène associée ; Wronskien de n solutions
1.6.2.1 Étant donnée l'EDL (équation différentielle linéaire) :
1.6.2.2 Wronskien de n solutions de l'EDLHA
1.6.3 Intégration de l'équation différentielle complète : méthode dite de variations des constantes
1.7 Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre n
1.7.1 Définition
1.7.2 Wronskien de n solutions de l'ED (**)
1.8 Equations différentielles linéaires à coefficients constants
1.8.1 Intégration de l'EDLHA
1.8.2 Intégration de l'équation complète
1.9 Equation différentielle scalaire d'ordre n à coefficients constants
1.9.1 Intégration de l'EDLHA
1.9.2 Intégration de l'équation complète : théorème d'Heaviside
1.10 SYSTEMES DIFFERENTIELS AUTONOMES
1.10.1 Définitions :
1.10.2 Cas particuliers des équations scalaires
1.10.3 Trajectoires associées à une équation autonome
1.10.4 Cas où f est orthogonal à un champ de gradient.
1.10.5 Cas où une trajectoire admet un point double.
1.10.6 Etude d'un système autonome autour d'un point d'équilibre : théorèmes de Liapounov et de Hartman-Grobman.
1.10.6.1 Cas linéaire :
1.10.6.2 Cas non linéaire.
1.10.7 Le théorème de Poincaré - Bendixson.
1.11 SOLUTIONS APPROCHEES DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
1.11.1 Rappels théoriques
1.11.2 Méthode d'Euler d'approximation de la solution
1.11.3 Méthode d'approximation de phi par le protocole de Runge-Kutta :
1.12 Des équations et des techniques à connaître
1.12.1 Equations différentielles de Bernoulli et de Riccati
1.12.2 Equation de Riccati :
1.12.3 Changement de variable dans une ED :
1.12.4 Un lemme parfois très utile :
Chapitre 2 - EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES : EXERCICES
2.1 Sous-Chapitre A : SYSTEMES-DIFFERENTIELS LINEAIRES
2.2 Sous-Chapitre B : EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES SCALAIRES
Chapitre 3 - EQUATIONS DIFFERENTIELLES NON LINEAIRES - SYSTEMES AUTONOMES
Annexe au chapitre 3
3.1 Premier exemple :
3.2 Deuxième exemple
Chapitre 4 - EQUATIONS DIFFERENTIELLES AVEC CONDITIONS AUX LIMITES
4.1 Etude des solutions de l'ED...
4.1.1 Noyau de Green associé à l'ED
4.1.2 Opérateur phi associé au noyau de Green
4.1.3 Phi est un opérateur symétrique dans...
4.1.4 Valeurs propres de Phi
4.2 Présentation du problème de Sturm-Liouville
4.2.1 Introduction et présentation
4.2.2 Étude d'un opérateur linéaire
4.2.3 L'opération phi k est symétrique défini négatif
4.2.4 Retour au problème de Sturm-Liouville : l'opérateur symétrique phi de E
4.2.5 Introduction du complété de...
4.2.6 Étude sur un exemple des solutions du problème de Sturm-Liouville
4.2.7 Retour au cas général
4.3 Equations linéaires du second ordre à coefficients périodiques
4.3.1 Equations différentielles de Mathieu :
Index alphabétique
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