Mathématiques pour les sciences de l'ingénieur avec Mathematica. Tome 2

Avant-propos
Introduction

Chapitre 1 — Séries de Fourier
1. Introduction
1.1. Retour sur le développement d’une fonction en série entière
1.2. Quelques rappels sur les fonctions sinusoïdales
2. Calculs préliminaires
2.1. Premier calcul
2.2. Second calcul
3. Définitions
3.1. Coefficients de Fourier
3.2. Série de Fourier
4. Convergence d’une série de Fourier
4.1. Conditions de Dirichlet
4.2. Théorème de Dirichlet
4.3. Exemples
4.4. Commentaires et compléments
5. Utilisation de Mathematica
5.1. Aide au calcul
5.2. Fonctions internes
6. Analyse harmonique
6.1. Harmoniques
6.2. Représentation complexe
6.3. Représentations spectrales
6.4. Utilisation de Mathematica
Exercices

Chapitre 2 — Éléments d’analyse fonctionnelle
1. Introduction
2. Espaces métriques
3. Espaces vectoriels normés
4. Espaces préhilbertiens
4.1. Introduction
4.2. Espaces préhilbertiens réels
4.3. Espaces préhilbertiens complexes
4.4. Orthogonalité
4.5. Norme
4.6. Familles orthogonales
5. Espaces de Hilbert
5.1. Définition
5.2. Approximation en moyenne quadratique
5.3. Inégalité de Bessel
5.4. Suites totales
6. Les séries de Fourier revisitées
7. Polynômes orthogonaux
7.1. Introduction
7.2. Polynômes de Jacobi
7.3. Polynômes de Hermite
7.4. Polynômes de Laguerre
Exercices

Chapitre 3 — Transformée de Fourier
1. Approche intuitive
2. Définitions
3. Conditions d’existence
4. Utilisation de Mathematica
5. Formules d’inversion
6. Propriétés
6.1. Linéarité
6.2. Symétries
6.3. Translation temporelle
6.4. Modulation
6.5. Changement d’échelle
6.6. Transformées des dérivées
6.7. Dérivées de la transformée
7. Cas des fonctions de module carré sommable
8. Transformée de Fourier et systèmes linéaires
Exercices

Chapitre 4 — Transformée de Laplace
1. Introduction
2. Exemples de transformées de Laplace classiques
2.1. Échelon de Heaviside
2.2. Rampe
2.3. Rampe parabolique
2.4. Généralisation
2.5. Rampe exponentielle
2.6. Rampe exponentielle carrée
3. Existence et propriétés de la transformée de Laplace
3.1. Abscisse de convergence absolue
3.2. Propriétés
4. Application à la résolution d’équations différentielles
4.1. Le principe
4.2. Exemple
4.3. Commentaires
5. Compléments
Exercices

Chapitre 5 — Solutions analytiques d’équations aux dérivées partielles du second ordre
1. Généralités
1.1. Introduction
1.2. Classification
1.3. Exemples fondamentaux
1.4. Éléments de résolution
2. Équation des cordes vibrantes
2.1. Description du problème
2.2. Solution de d’Alembert
2.3. Résolution par la méthode de séparation des variables
2.4. Bilan et commentaires
2.5. Exemple
3. Équation de la chaleur
3.1. Description du problème
3.2. Tige de longueur finie
3.3. Tige infinie
4. Équation de Laplace
4.1. Introduction
4.2. Problème unidimensionnel
4.3. Plaque rectangulaire
4.4. Plaque semi-infinie
Exercices

Chapitre 6 — Solutions approchées de problèmes aux limites
1. Introduction
2. Notions sur les problèmes elliptiques
3. Formulation variationnelle d’un problème aux limites
3.1. Problème modèle unidimensionnel
3.2. Problème modèle multidimensionnel
3.3. Formulation générale
4. Approximation de Galerkin
4.1. Le principe
4.2. Exemples de mise en oeuvre
4.3. Programmation de l’approximation de Galerkin
5. Méthode des éléments finis
5.1. Les idées de base
5.2. Méthode des éléments finis 1D
5.3. Méthode des éléments finis 2D
6. Fonctions internes Mathematica
6.1. Utilisation transparente
6.2. Utilisation contrôlée
Exercices

Chapitre 7 — Éléments d’optimisation
1. Généralités
1.1. Introduction
1.2. Cadre mathématique et vocabulaire
1.3. Formulation standard d’un problème d’optimisation continue
1.4. Les idées et concepts de base en optimisation continue
2. Conditions d’optimalité
2.1. Fonction d’une variable
2.2. Fonction de plusieurs variables
2.3. Fonction interne
2.4. Bilan et commentaires
3. Programmation linéaire
3.1. Position du problème
3.2. Exemple d’introduction
3.3. Généralisation
3.4. Algorithme du simplexe
3.5. Fonction interne
4. Méthodes numériques
4.1. Généralités
4.2. Direction de descente
4.3. Méthodes de minimisation unidimensionnelle
4.4. Algorithme(s) du gradient
4.5. Algorithme de Newton
4.6. Méthodes de résolution des problèmes avec contraintes
4.7. Fonctions internes
5. Notions sur les méta-heuristiques
5.1. Introduction
5.2. Algorithme du recuit simulé
5.3. Algorithmes génétiques
5.4. Utilisation de fonctions internes
Exercices

Annexes
1. Vocabulaire minimum de topologie
2. Notions d’analyse vectorielle
2.1. Introduction
2.2. Fonctions de plusieurs variables
2.3. Opérateurs différentiels
2.4. Formules d’analyse vectorielle
3. Rappels et compléments sur les matrices
3.1. Matrice carrée
3.2. Matrice symétrique
3.3. Mineurs
3.4. Mineurs principaux
3.5. Mineurs principaux dominants
4. Formes quadratiques et matrices associées
4.1. Définitions
4.2. Propriétés
4.3. Critères usuels
4.4. Fonctions internes
5. Convexité
5.1. Ensembles convexes
5.2. Fonctions convexes

Références
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