Intégration et Probabilités. Cours et exercices corrigés

1 Ensembles

1.1 Définitions 

1.2 Quelques ensembles usuels 

1.2.1 Ensemble des entiers naturels 

1.2.2 Ensemble des entiers relatifs 

1.2.3 Ensemble des nombres rationnels 

1.2.4 Ensemble des nombres réels 

1.2.5 Ensemble des nombres complexes 

1.3 Sous-ensembles 

1.4 Ensembles finis, dénombrables 

1.5 Quelques opérations sur les ensembles 

1.5.1 Complémentaire 

1.5.2 Réunion et intersection 

1.5.3 Différence et différence symétrique 

1.5.4 Systèmes Complets d’événements 

1.6 Produit cartésien 

1.7 Ensembles ordonnés 

1.8 Ensembles Bornés 

1.8.1 Distance 

1.8.2 Droite réelle achevée R 

1.9 Suites 

1.9.1 Cas général 

1.9.2 Suites réelles 

1.9.3 Suites et limites 

1.9.4 Opérations sur les limites de suites 

1.9.5 Comparaison de limites 

1.9.6 Suites adjacentes 

1.9.7 Limite infinie 

1.10 Limites supérieure et inférieure 

1.10.1 Limites d’une suite de réels 

1.10.2 Limite d’une suite d’ensembles 

1.11 Exercices corrigés 

2 Applications

2.1 Relation-Application 

2.1.1 Définitions et Nomenclature 

2.1.2 Fonction indicatrice 

2.1.3 Applications injectives, surjectives 

2.1.4 Applications bijectives 

2.1.5 Application composée 

2.2 Principe de raisonnement par récurrence 

2.3 Sommations 

2.4 Arrangement et Combinaison 

2.5 Exercices corrigés 

3 Tribus et mesures

3.1 Tribu 

3.1.1 Généralités 

3.1.2 Tribu engendrée par un ensemble de parties 

3.2 Tribu borélienne 

3.2.1 Cas de R 

3.2.2 Cas de Rn 

3.3 Mesures 

3.3.1 Définitions 

3.3.2 Quelques propriétés fondamentales des mesures 

3.3.3 Opérations sur les mesures 

3.4 Mesure de Lebesgue 

3.4.1 Mesure de Lebesgue sur R 

3.4.2 Mesure de Lebesgue sur Rn 

3.5 Exercices corrigés 

4 Intégration par rapport à une mesure

4.1 Fonctions mesurables 

4.1.1 Mesure image 

4.2 Intégration 

4.2.1 Fonctions étagées 

4.2.2 Fonctions mesurables positives 

4.2.3 Théorème de convergence monotone 

4.2.4 Lemme de Fatou 

4.2.5 Fonctions mesurables réelles 

4.2.6 Fonctions à valeurs complexes 

4.2.7 Mesures à densité 

4.3 Intégrales dépendant d’un paramètre 

4.3.1 Continuité d’une fonction définie par une intégrale

4.3.2 Dérivation d’une fonction définie par une intégrale

4.4 Exercices corrigés 

5 Mesures produits, intégrales multiples et théorèmes de Fubini

5.1 Produits d’espaces mesurables 

5.2 Classes monotones 

5.3 Théorèmes de Fubini et de Fubini-Tonelli 

5.4 Changement de variables 

5.5 Exercices corrigés 

6 Les espaces Lp 

6.1 L’espace de Lebesgue L1 

6.2 Définition et propriétés élémentaires des espaces Lp 

6.3 Réflexivité 

6.4 Densité 

6.5 Convolution 

6.6 Exercices corrigés 

7 Espace Probabilisé

7.1 Probabilité conditionnelle 

7.2 Systèmes Complets et Probabilités Totales 

7.3 Indépendance 

7.3.1 Indépendance de deux événements 

7.4 Indépendance d’une suite d’événements 

7.5 Exercices corrigés 

8 Variables aléatoires réelles discrètes 

8.1 Loi de probabilité d’une variables aléatoire réelle discrète 

8.2 Indépendance de variables aléatoires réelles 

8.3 Fonction d’une variable aléatoire réelle 

8.4 Fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle 

8.5 Moments d’une variable aléatoire discrète 

8.5.1 Espérance d’une variable aléatoire discrète 

8.5.2 Second moment, Variance, Écart type 

8.6 Fonction génératrice 

8.6.1 Produit des fonctions génératrices 

8.6.2 Composition de fonctions génératrices 

8.7 Loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires réelles . 277

8.8 Loi de la somme de v.a.r. discrètes indépendantes 

8.9 Application aux lois discrètes usuelles 

8.9.1 Loi dégénérée 

8.9.2 Loi discrète uniforme 

8.9.3 Loi de Bernoulli 

8.9.4 Loi binomiale 

8.9.5 Loi géométrique 

8.9.6 Loi de Poisson 

8.9.7 Loi binomiale négative 

8.9.8 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson288

8.10 Exercices corrigés 

9 Variables aléatoires à densités

9.1 Densité de probabilité 

9.2 Fonction de répartition 

9.3 Moments d’une v.a.r. à densité 

9.4 Fonction génératrice des moments d’une variable aléatoire continue 

9.5 Loi de couple, lois marginales 

9.6 Indépendance de variables aléatoires 

9.7 Fonction caractéristique d’une variable aléatoire continue 

9.8 Exercices corrigés 

10 Convergence

10.1 Convergence en probabilité et loi faible des grands nombres

10.2 Convergence presque sûre et loi forte des grands nombres 

10.3 Convergence dans Lp 

10.4 Convergence en loi 

10.5 Exercices corrigés 

Bibliographie