Le cours d'analyse d'une école d'ingénieurs est le socle conceptuel sur lequel reposent les autres enseignements mathématiques, constituant ainsi le cadre de modélisation des sciences de l'ingénieur. La rédaction de ce cours, tant dans son contenu que dans sa structure, est inspirée par le profil et les besoins en mathématiques de l'élève et du futur ingénieur. L'auteur a donc choisi d'exposer un cours d'analyse allégé des concepts et des résultats à faible plus-value pratique, nécessitant en outre un investissement lourd pour l'enseignant et pour l'élève. Tel est le cas par exemple des concepts de mesure complexe ou de topologie définie par des familles de semi-normes qui ne seront pas abordés ici.
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Rubrique :
Mathématiques
ISBN :
9782854289145
Référence :
914
Année de parution :
2009
Le cours d'analyse d'une école d'ingénieurs est le socle conceptuel sur lequel reposent les autres enseignements mathématiques, constituant ainsi le cadre de modélisation des sciences de l'ingénieur. La rédaction de ce cours, tant dans son contenu que dans sa structure, est inspirée par le profil et les besoins en mathématiques de l'élève et du futur ingénieur. L'auteur a donc choisi d'exposer un cours d'analyse allégé des concepts et des résultats à faible plus-value pratique, nécessitant en outre un investissement lourd pour l'enseignant et pour l'élève. Tel est le cas par exemple des concepts de mesure complexe ou de topologie définie par des familles de semi-normes qui ne seront pas abordés ici.
Adepte d'une pédagogie constructive et motivante, essayant d'éviter autant que faire se peut la pesante et souvent inefficace linéarité de l'exposé déductif,l'auteur a semé le parcours du néophyte d'appels à l'intuition géométrique ou physique, d'analogies et de remarques qui devraient en faciliter la lente digestion. Seuls sont démontrés les théorèmes importants a condition toutefois que leurs preuves ne soient ni trop techniques ni trop longues dans le cadre défini par les objectifs pédagogiques d'une école d'ingénieurs et sa dure contrainte temporelle (60 h de face à face pédagogique). En revanche certaines preuves accessibles et mettant en œuvre une idée ou une méthode originale font l'objet d'exercices qui en facilitent la compréhension et donc la mémorisation.
Ce livre est composé de six chapitres : les quatre premiers sont dédiés à l'analyse fonctionnelle et harmonique, les deux autres exposent la théorie des fonctions holomorphes.
Le premier chapitre est un exposé de la théorie ensembliste de la mesure et de l'intégration, qui se conclut par la présentation des concepts-outils fondamentaux pour la modélisation des systèmes linéaires, que sont le produit de convolution et la transformation de Laplace.
Après de nécessaires rappels de topologie métrique suivis d'un exposé rapide des bases de la théorie des espaces vectoriels normés, on présente de façon plus détaillée la théorie des espaces hilbertiens et ses applications à l'approximation fonctionnelle dans les espaces L2.
Le chapitre trois concerne l'analyse et la synthèse harmonique des fonctions réelles séries et transformations de Fourier. Le chapitre quatre est une introduction a la théorie des distributions, motivée et illustrée par la théorie du signal.
Adepte d'une pédagogie constructive et motivante, essayant d'éviter autant que faire se peut la pesante et souvent inefficace linéarité de l'exposé déductif,l'auteur a semé le parcours du néophyte d'appels à l'intuition géométrique ou physique, d'analogies et de remarques qui devraient en faciliter la lente digestion. Seuls sont démontrés les théorèmes importants a condition toutefois que leurs preuves ne soient ni trop techniques ni trop longues dans le cadre défini par les objectifs pédagogiques d'une école d'ingénieurs et sa dure contrainte temporelle (60 h de face à face pédagogique). En revanche certaines preuves accessibles et mettant en œuvre une idée ou une méthode originale font l'objet d'exercices qui en facilitent la compréhension et donc la mémorisation.
Ce livre est composé de six chapitres : les quatre premiers sont dédiés à l'analyse fonctionnelle et harmonique, les deux autres exposent la théorie des fonctions holomorphes.
Le premier chapitre est un exposé de la théorie ensembliste de la mesure et de l'intégration, qui se conclut par la présentation des concepts-outils fondamentaux pour la modélisation des systèmes linéaires, que sont le produit de convolution et la transformation de Laplace.
Après de nécessaires rappels de topologie métrique suivis d'un exposé rapide des bases de la théorie des espaces vectoriels normés, on présente de façon plus détaillée la théorie des espaces hilbertiens et ses applications à l'approximation fonctionnelle dans les espaces L2.
Le chapitre trois concerne l'analyse et la synthèse harmonique des fonctions réelles séries et transformations de Fourier. Le chapitre quatre est une introduction a la théorie des distributions, motivée et illustrée par la théorie du signal.
| Référence : | 914 |
| Niveau : | université et écoles d'ingénieurs |
| Nombre de pages : | 240 |
| Format : | 17x24 |
| Reliure : | Broché |
| Rôle | |
|---|---|
| Caumel Yves | Auteur |
Table des matières
Introduction
1 Théorie de la mesure et de l’intégration
1.1 Mesures et tribus
1.1.1 Les tribus
1.1.2 Mesure des ensembles
1.1.3 Fonctions mesurables
1.2 L’intégrale de Lebesgue et ses propriétés
1.2.1 Intégrale de Lebesgue des fonctions positives
1.2.2 Intégrale de Lebesgue des fonctions quelconques et ses propriétés
1.2.3 Propriétés de continuité et de dérivabilité des intégrales dépendant d’un paramètre 1.2.4 Espaces LP
1.3 La convolution des fonctions
1.4 La transformation de Laplace des fonctions
1.5 Thème d’étude : applications de la transformation de Laplace
1.6 Corrigés des exercices
2 Espaces vectoriels normés
2.1 Espaces métriques
2.1.1 Notions basiques
2.1.2 Espaces complets
2.1.3 Espaces compacts
2.1.4 Espaces connexes
2.2 Espaces vectoriels normés
2.3 Espaces de Hilbert
2.3.1 Propriétés d’orthogonalité
2.3.2 Familles et bases orthonormales
2.4 Approximation des fonctions
2.4.1 Approximation dans les espaces préhilbertiens et hilbertiens
2.4.2 Méthode des moindres carrés
2.4.3 Méthode d’approximation uniforme
2.5 Thème d’étude : les polynômes de Legendre
2.6 Corrigés des exercices
3 Séries et transformation de Fourier des fonctions
3.1 Séries trigonométriques
3.2 Séries de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables
3.3 Séries de Fourier des fonctions périodiques de classe L2p (O, T)
3.4 Transformation de Fourier dans L1 (R)
3.5 Transformation de Fourier dans S (R)
3.6 Transformation de Fourier dans L2 (R)
3.7 Introduction à la transformée de Fourier discrète
3.8 Un mot sur les ondelettes
3.8.1 Limitations de l’analyse de Fourier
3.8.2 La transformation de Gabor
3.8.3 Transformation en ondelettes
3.9 Thème d’étude : résolution de l’équation de la chaleur
3.10 Corrigés des exercices
4 Distributions
4.1 Une approche physicienne
4.2 L’espace des distributions D’
4.3 Dérivation des distributions
4.4 Produit d’une distribution par une fonction C??
4.5 Convolution des distributions
4.6 Transformation de Fourier des distributions tempérées
4.7 Séries de Fourier des distributions périodiques
4.8 Transformation de Laplace des distributions
4.9 Les filtres
4.10 Corrigés des exercices
5 Fonctions holomorphes, transformations conformes
5.1 Fonctions d’une variable complexe
5.2 Fonctions holomorphes
5.3 Transformations conformes
5.4 Intégrale d’une fonction complexe
5.5 Le théorème de Cauchy et ses corollaires
5.6 Résolution du problème de Dirichlet
5.7 Thème d’étude : application à la mécanique des fluides
5.8 Corrigés des exercices
6 Séries entières et de Laurent ; calcul des résidus
6.1 Rappels sur les séries de fonctions d’une variable complexe
6.2 Séries entières et fonctions analytiques
6.3 Les séries de Laurent
6.4 Applications des séries de Laurent
6.4.1 Calcul des séries de Fourier
6.4.2 La transformation en Z
6.5 Classification des singularités
6.6 Théorème des résidus : applications au calcul d’intégrales
6.7 Corrigés des exercices
A Le corps des complexes
B Rappels divers
C Transformées de Fourier et de Laplace
D Représentation des signaux et leurs propriétés
Bibliographie commentée
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