Analyse variationnelle et Optimisation

table des matières abrégée :

Avant-Propos

Abréviations et Notations

Partie I : Éléments de Cours
1 Rappels et compléments d’analyse
2 Introduction à la problématique de l’optimisation
3 Introduction à la programmation linéaire
4 Conditions d’optimalité
5 Introduction aux espaces de Hilbert
6 Introduction à la formulation variationnelle de problèmes aux limites des éléments finis

Partie II : Exercices et problèmes corrigés

7 Exercices en dimension finie
Sources
Bibliographie
Table des matières détaillée :

Avant-Propos
Abréviations et Notations
Partie I Éléments de Cours
1 Rappels et compléments d’analyse
1.1 Principe variationnel d’Ekeland
1.2 Différentiabilité
1.3 Fonctions convexes

2 Introduction à la problématique de l’optimisation
2.1 Le problème de l’optimisation avec contrainte
2.1.1 Existence d’une ou plusieurs solutions
2.1.2 Conditions nécessaires et conditions suffisantes d’optimalité
2.1.3 Résolution numérique
2.2 Théorèmes de séparation et de dualité
2.2.1 Notations
2.2.2 Théorèmes de séparation
2.2.3 Un théorème général de dualité
2.2.4 Polyèdres dans Rn

3 Introduction à la programmation linéaire
3.1 Le problème de la programmation linéaire
3.2 Dualité en programmation linéaire
3.2.1 Le théorème de dualité et quelques conséquences
3.2.2 Quelques cas particuliers
3.2.3 Application: systèmes d’inéquations linéaires
3.3 Perturbation des données

4 Conditions d’optimalité
4.1 Conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre
4.1.1 Cas de contraintes d’égalité
4.1.2 Cas de contraintes d’inégalité
4.1.3 Cas de contraintes d’inégalité et d’égalité
4.2 Conditions du second ordre
4.3 Dualisation de LAGRANGE
5 Introduction aux espaces de Hilbert
5.1 Définitions basiques
5.2 Le Théorème de projection
5.3 Bases hilbertiennes

6 Introduction à la formulation variationnelle de problèmes aux limites
6.1 Introduction
6.2 Un premier exemple type
6.3 Un deuxième exemple type
6.4 D’autres exemples
6.5 Introduction à la méthode des éléments finis

Partie II Exercices et problèmes corrigés
7 Exercices en dimension finie
N° 1 Intérieur relatif d’un convexe
N° 2 Résultats de séparation
N° 3 Cône polaire
N° 4 Fermeture de l’enveloppe positive I
N° 5 Fermeture de l’enveloppe positive II
N° 6 Lemme de Farkas
N° 7 Caractérisation de la non vacuité d’un polyèdre.
N°8 Lemme de Gordan
N° 9 Cône normal à un polyèdre convexe
N° 10 Distance à un demi-espace
N° 11 Existence de points extrémaux d’un convexe
N° 12 Quelques propriétés des polyèdres
N° 13 Intérieur d’un cône polyédral
N° 14 Dualité en programmation linéaire
N° 15 Fonction d’appui d’un convexe.
N° 16 Caractère borné de l’ensemble des solutions primales en programmation linéaire
N° 17 Caractère borné de l’ensemble des solutions duales en programmation linéaire
N° 18 Persistence de l’ensemble des solutions primales en programmation linéaire
N° 19 Théorème de Carathéodory .
N° 20 Théorème de Minkowski.
N° 21 Directions extrémales d’un cône convexe
N° 22 Points extrémaux d’un polyèdre.
N° 23 Theorème de Weyl I
N° 24 Théorème de Weyl II
N° 25 Analyse variationnelle de formes quadratiques convexes
N° 26 Généralisation de l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ
N° 27 Caractérisation de la positivité d’une fonction quadratique
N° 28 Minimisation du quotient de deux fonctions quadratiques
N° 29 Minimisation d’une fonction bi-quadratique .
N° 30 L’inégalité de KANTOROVITCH en bref
N° 31 Test de positivité du complément de SCHUR via l’Optimisation
N° 32 Le théorème de D’ALEMBERT-GAUSS par l’Optimisation
N° 33 Un problème de régression en Statistique
N° 34 Minimisation d’une énergie électrostatique
N° 35 Minimisation d’une somme d’angles en 3D
N° 36 Minimisation d’une énergie à volume fixé
N° 37 Maximisation d’un volume sous une contrainte de ficelage
N° 38 Maximisation de l’aire d’un triangle de périmètre donné
N° 39 Maximisation de l’aire d’un quadrilatère de périmètre donné
N° 40 Minimisation des aires des parties latérales d’un tétraèdre
N° 41 Le théorème de PYTHAGORE en 3D. Minimisation de l’aire d’une plaque posée sur les trois axes de coordonnées.
N° 42 Maximisation du volume d’un container dans une coque ellipsoïdale
N° 43 Minimisation d’une énergie dans un problème de type COULOMB.
N° 44 Analyse variationnelle de la factorisation polaire d’une matrice
N° 45 Un problème d’approximation matricielle
N° 46 Maximisation d’une fonction produit sur la sphère-unité
N° 47 Minimisation d’une fonction de type produit sur le simplexe-unité. Une application géométrique dans le plan
N° 48 Minimisation d’une fonction quadratique sur le simplexe-unité.
N° 49 La projection sur le simplexe-unité
N° 50 Minimisation d’une fonction du type entropie sur le simplexe-unité
N° 51 Minimisation partielle d’une fonction quadratique. Application à l’inégalité de BERGSTRÔM .
N° 52 Position d’équilibre d’un fil élastique suspendu.
N° 53 Interprétation des conditions nécessaires d’optimalité à l’aide de la décomposition de MOREAU
N° 54 Etude de cas : un exemple de modélisation: le choix du meilleur investissement financier
N° 55 Etude de cas: un exemple de modélisation: un problème d’optimisation linéaire avec contraintes en probabilités.
N° 56 Convexes du plan d’aire maximale.
N° 57 Convexes compacts du plan de largeur constante.
N° 58 Enveloppe convexe vs. enveloppe plénière d’un ensemble de matrices.
N° 59 Deux convexes compacts voisins (de matrices) comparés par leurs fonctions d’appui .
N° 60 Différenciation des points extrémaux d’un convexe compact à l’aide d’une fonction. N° 61 Une involution dans la famille des fonctions convexes de la variable positive réelle. N° 62 Une fonction de valeurs propres.
N° 63 Caractérisation par log-convexité de la fonction gamma d’EULER .
N° 64 Calcul d’une intégrale liée à la distance à un polyèdre convexe du plan
N° 65 Volume du polaire d’un convexe à l’aide de sa fonction d’appui .
N° 66 Minimisation du parcours de visite de trois droites de l’espace
N° 67 Inégalité de WIRTINGER. Application à la minoration des périodes pour les solutions d’une équation différentielle vectorielle autonome
N° 68 Convexité du quotient d’une fonction quadratique par une norme.

8 Exercices en dimension infinie
N° 69 Densité des fonctions régulières dans L1 .
N° 70 Régularisation par convolution.
N° 71 Intégration par parties.
N° 72 Nullité de la distribution associée à une fonction.
N° 73 Espaces de Sobolev à une variable.
N° 74 Théorème de Lax-Milgram .
N° 75 Théorème de Stampacchia
N° 76 Formulation variationnelle
N° 77 Calcul d’un cône polaire.
N° 78 Le problème du brachystochrone .
N° 79 Principe variationel d’Ekeland .
N° 80 Applications du principe variationel d’Ekeland en théorie du point fixe.
N° 81 Non existence de la projection sur un sous–espace vectoriel fermé d’un espace préhilbertien
N° 82 Détermination de la projection sur un sous–espace vectoriel fermé (de codimension 2) d’un espace préhilbertien
N° 83 Un problème de commande optimale traité comme un problème de projection sur un sous-espace affine d’un espace préhilbertien .
N° 84 Variations sur les projections sur deux sous-espaces vectoriels fermés.
N° 85 Minimisation d’une fonctionnelle intégrale.
N° 86 Un problème de localisation de FERMAT
N° 87 Convergence faible vs. convergence forte d’une suite dans un espace de HILBERT . N° 88 Obstacles empêchant une suite faiblement convergente de converger (fortement)
N° 89 Inégalité d’OPIAL
N° 90 Le problème des points les plus éloignés.
N° 91 Projection de l’origine sur un demi–espace fermé d’un espace de
HILBERT
N° 92 Projection sur un cône convexe fermé d’un espace de HILBERT. Décomposition de MOREAU .
N° 93 Règles de calcul sur les cônes polaires
N° 94 Dérivée directionnelle de l’opérateur de projection sur un convexe fermé d’un espace de HILBERT .
N° 95 L’algorithme de J. VON NEUMANN des projections alternées sur deux sous-espaces vectoriels fermés d’un espace de HILBERT .
N° 96 Trois applications du principe variationnel d’EKELAND .
N° 97 Une utilisation du principe variationnel d’EKELAND en analyse convexe
N° 98 La règle de FERMAT asymptotique
N° 99 Désaccord entre deux normes dans les conditions d’optimalité du 2nd ordre
N° 100 Un problème d’approximation en norme minimale
N° 101 Calcul sous-différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel de fonctions radiales
N° 102 Formulation abstraite de l’algorithme ROF en traitement d’images
N° 103 Séparation d’une fonction convexe et d’une fonction concave
Sources
Bibliographie