Principes et applications de Mécanique Analytique

TABLE DES MATIERES

Préface, Avant-Propos

Chapitre I

INTRODUCTION A LA MECANIQUE ANALYTIQUE

1.   Historique

      1.1.Cadre de la mécanique classique

      1.2.Le Principe Fondamental de la Dynamique

      1.3.L'aube du calcul de variations

2.    Plan de l'ouvrage

       2.1. La mécanique classique

       2.2. La mécanique analytique

       2.3. Exemple d'un système à 1 degré de liberté : le système masse-ressort

       2.4. Plan de l'ouvrage

Chapitre II

VARIABLES DE SITUATION - LIAISONS

1.   Coordonnées généralisées ou variables de situation

      1.1. Degrés de liberté d'une liaison

      1.2. Les coordonnées généralisées

2.    Les conditions de liaison

       2.1. Liaisons unilatérales et bilatérales

       2.2. Liaison indépendante ou dépendante du temps

       2.3. Liaison de type holonôme

       2.4. Liaison de type non holonôme

       2.5. Liaison de type semi holonôme

       2.6. Un peu de grec

Chapitre III

EQUATIONS DE LAGRANGE

1.    Introduction au principe des travaux (ou puissances) virtuel(le)s

       1.1. Hypothèses et notations

       1.2. Equivalence de la relation fondamentale de la dynamique vectorielle et de      sa  multiplication scalaire par un vecteur arbitraire

       1.3. Particularisation du champ de vecteurs arbitraire

       1.4. Le principe de d'Alembert

       1.5. Interprétation physique du champ de vecteurs arbitraire

       1.6. Principe des travaux virtuels

       1.7. Principe des puissances virtuelles

2.     Les équations de Lagrange

        2.1. Indépendance des coordonnées généralisées et de leurs dérivées

        2.2. Calcul d'une vitesse virtuelle

        2.3. Quelques relations préliminaires

        2.4. Calcul de la puissance virtuelle des quantités d'accélération

        2.5. Calcul de la puissance virtuelle des forces extérieures et intérieures au système

        2.6. Equations de Lagrange

        2.7. Lois de conservation

Chapitre IV

MISE EN OEUVRE DES EQUATIONS DE LAGRANGE - MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE

1.   Equations de Lagrange pour les systèmes non holonomes

       1.1. Introduction sur un exemple : le problème du cerceau

       1.2. Champ de vitesses virtuel non compatible avec la condition de liaison non holonôme

       1.3. Méthode des multiplicateurs de Lagrange

       1.4. Commentaires

2.    Exemple d'application

       2.1. Mouvement libre de la roue dans le plan vertical

       2.2. Roue en contact ponctuel sur un axe horizontal. Champ de vitesses virtuel compatible avec la condition de contact

       2.3. Roue en contact ponctuel sur un axe horizontal. Champ de vitesses virtuel ne respectant plus la condition de contact

       2.4.  Roue en contact ponctuel sur un axe horizontal : contact sans glissement

Chapitre V

PRINCIPE VARIATIONNEL DE HAMILTON

1.    Eléments de calcul variationnel

       1.1. Etat d'un système

       1.2. Introduction au calcul variationnel

       1.3. Enoncé du Principe Variationnel de Hamilton (principe de moindre action)

2.  Condition de stationnarité : équation d'Euler

     2.1. Propriétés de l'opérateur variations ?

     2.2. Equation d'Euler

     2.3.Généralisation à n coordonnées

     2.4. Solution de problèmes d'optimisation (exemples géométriques simples)

3.  Principe Variationnel de Hamilton et équations de Lagrange : cas des systèmes   de solides rigides

     3.1. Cas où les liaisons sont holonômes et où toutes les forces dérivent d'une fonction de force

     3.2. Cas où les liaisons sont holonômes et où toutes les forces ne dérivent pas d'une fonction de force

     3.3. Cas où le système vérifie p conditions non holonômes et où toutes les forces ne dérivent pas d'une fonction de force

4.   Principe Variationnel de Hamilton et équations de Lagrange : introduction au cas des systèmes déformables

      4.1. Lagrangien dépendant de dérivées spatiales d'ordre 1

      4.2. Lagrangien dépendant de dérivées spatiales d'ordre 1 et 2

Chapitre VI

EXERCICES RESOLUS

1.   Particule sur un cylindre

      1.1. Application du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) au point M

      1.2. Application du Principe des Puissances Virtuelles

      1.3. Application du Principe Variationnel de Hamilton

2.   Système articulé

3.   Masselotte sur une rainure et liée à un ressort

      3.1. Champ de vitesses virtuel ne respectant pas la condition holonôme de contact

      3.2. Champ de vitesses virtuel respectant la condition de contact : utilisation des multiplicateurs de Lagrange

4. Equilibre d'un tronc d'arbre en montagne

    4.1. Champ de vitesses virtuel respectant la condition de contact au point A

    4.2. Champ de vitesses virtuel ne respectant pas la condition de contact au point A

5. Cerceau d'enfant

    5.1. Analyse du système

    5.2. Application du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

    5.3. Application du Théorème de l'Energie Cinétique (TEC)

    5.4. Application du Principe des Puissances Virtuelles pour un champ de vitesses virtuel respectant la condition de contact au point A

    5.5. Application du Principe des Puissances Virtuelles pour un champ de vitesses virtuel ne respectant pas la condition de contact au point A

   5.6. Introduction d'un multiplicateur de Lagrange

6. Toupie symétrique (mouvement de Lagrange-Poisson)

    6.1. Utilisation du Principe des Puissances Virtuelles

    6.2. Utilisation du Principe Variationnel de Hamilton

7.  Pendule simple - Utilisation d'une condition d'inextensibilité pour introduire les multiplicateurs de Lagrange

    7.1. Utilisation des coordonnées cartésiennes

    7.2. Utilisation des coordonnées polaires

8.  Mouvement transversal d'une corde flexible tendue (corde vibrante)

    8.1. Abscisse curviligne

    8.2. Application du Principe Fondamental de la Dynamique à un élément de corde

    8.3. Application du Principe Variationnel de Hamilton

    8.4. Prise en compte de la viscosité de l'air

9.     Barre en traction-compression encastrée à une extrémité et avec masse à l'autre

CONCLUSION

Annexe A1. LES ANGLES D'EULER

Annexe A2

FONCTION DE FORCE, ENERGIE POTENTIELLE

1          Champ de forces

2          Fonction de force

3          Energie potentielle

4          Puissance et travail élémentaire

5          Rappels sur la notion de gradient

6.1.      Définitions de base

6.2.      Pour aller plus loin

Annexe A3

APPLICATION DU PRINCIPE VARIATIONNEL DE HAMILTON AUX LIGNES ELECTRIQUES (exemple)

Annexe A4

ELASTICITE LINEAIRE, ENERGIE POTENTIELLE DE DEFORMATION

1.  Tenseur des contraintes et des déformations

    1.1.      Tenseur des déformations

    1.2.      Tenseur des contraintes

2.  Comportement linéaire d'un solide élastique

    2.1.      Introduction : essai de traction

    2.2.      Généralisation : loi de Hooke en milieu anisotrope

    2.3.      Loi de Hooke en milieu isotrope

3.  Equations générales du mouvement : énergie potentielle de déformation

    3.1.      Lagrangien total du système correspondant aux déformations du domaine

    3.2.      Coefficients de puissance des forces ne dérivant pas d'une fonction de force dans le domaine D

    3.3.      Principe Variationnel de Hamilton

    3.4.      Energie potentielle élastique

Annexe A5. FORMULES DE GREEN

1.         Formule de Green 2D

2.         Formule de Green 3D

Annexe A6. TABLEAUX-RESUMES

1.         Chapitre I

2.         Chapitre II

3.         Chapitre III

4.         Chapitre IV

5.         Chapitre V

6.         Eléments d'inertie de quelques solides homogènes usuels

BIBLIOGRAPHIE

INDEX ALPHABETIQUE